Des entomologistes ont découvert récemment une nouvelle espèce de fourmis dans la jungle tanzanienne. Elles ont pour particularité de construire dans un coin de leur fourmilière des réservoirs sphériques qu’elles remplissent de lait de coco. Intrigués, les chercheurs décidèrent d’installer une fourmilière dans leur labo afin de mieux étudier le travail de la colonie. Ils commencèrent par mesurer les fameux réservoirs pour s’apercevoir que ceux-ci étaient non seulement d’une sphéricité parfaite mais avaient également tous un diamètre à l’identique, de 20 cm, soit plusieurs fois la taille moyenne des insectes.

Un calcul rapide leur apprit que le volume de lait pouvant être stocké dans un tel réservoir était de :

Des observations attentives leur montrèrent qu’une fois remplie, la réserve de lait était fort logiquement ponctionnée régulièrement par les ouvrières pour les besoins de leurs consœurs, au moyen d’un micro-orifice proche du fond, qu’elles rebouchaient consciencieusement avec leurs mandibules après usage. Mais quelle ne fut pas la surprise des scientifiques de voir au bout de quelques jours un groupe de fourmis s’accrocher les unes aux autres pour plonger au fond de chaque réservoir (ils en avaient installé des copies factices et transparentes au sein de la colonie pour faciliter l’étude – les fourmis n’y avaient vu que du feu). En s’agrippant à deux congénères, chacune participait à la construction une échelle d’une dizaine d’individus, permettant au dernier élément d’atteindre avec ses antennes la surface du liquide. Le phénomène se reproduisait tous les trois à quatre jours, la petite escouade se séparant pour vaquer à d’autres occupations dès la dernière des sphères inspectée. Mais, au bout d’environ deux semaines, le contrôle de l’une des sphères se termina par le remplissage express de celle-ci par le groupe des inspectrices avant le passage à la suivante. Estomaqués, les chercheurs concentrèrent toute leur attention sur ce comportement hors-norme. Après moult observations et expérimentations, ils en arrivèrent à la conclusion que le réflexe de remplissage se produisait toujours lorsque le contenu de la sphère atteignait 200 cm³, avec une marge d’erreur de 0,1 mm³.

Nos entomologistes, fort érudits en mathématiques par ailleurs, modélisèrent donc la sphère-réservoir par le schéma ci-contre, la dotant d’un axe vertical ayant pour origine son pôle Sud. Ils notèrent h la hauteur du lait restant, R le rayon de la sphère et r le rayon du disque formé par la surface du liquide. Le théorème de Pythagore leur donna immédiatement la relation R² = r² + (R-h)² soit encore r² = R² – (R-h)². En considérant ensuite le volume infinitésimal dv = πr²dx, ils purent calculer le volume de lait de coco en fonction de sa hauteur h :

Pour déterminer la hauteur correspondant à un volume restant de 200 cm³, les fourmis tanzaniennes sont donc amenées à résoudre l’équation :

ou encore :

Autrement dit, elles se retrouvent confrontées à une équation du troisième degré, à savoir ax³ + bx² + cx + d = 0 avec :

Comment s’y prennent-elles pour la résoudre ? Elles se basent probablement sur la méthode de Tartaglia-Cardan. Que nous dit-elle ? Partant de ax³ + bx² + cx + d = 0, elle requiert d’abord de poser :

On peut vérifier aisément que l’équation initiale devient alors z³ + pz + q = 0.

La méthode de Tartaglia-Cardan nous enseigne qu’il faut ensuite calculer le discriminant Δ = -(4p³ + 27q²) et distinguer trois cas :

1^er cas : Δ < 0

L’équation admet une solution réelle notée z₀ et deux solutions imaginaires z₁ et z₂ :

2^ème cas : Δ = 0

L’équation admet deux solutions réelles :

3^ème cas : Δ > 0

L’équation admet trois solutions réelles :

Si nous appliquons maintenant cette méthode à l’équation de nos amies les fourmis, nous obtenons ax³ + bx² + cx + d = 0 avec :

Donc :

Soit :

Le discriminant vaut :

Il est donc strictement positif. Nous nous retrouvons dans le cas des trois solutions réelles :

Il ne reste plus qu’à remonter jusqu’à l’expression de x :

La calculatrice nous donne : x₀ ≈ 29,78 cm, x₁ ≈ -2,24 cm et x₂ ≈ 2,64 cm.

Seule la dernière solution correspond à un cas réel. Les entomologistes arrivèrent donc à la conclusion que les fourmis s’empressent de remplir le réservoir lorsque son contenu atteint la limite des 2,64 cm. Pour rendre hommage à leur ingéniosité, ils baptisèrent cette nouvelle espèce du nom de Formicidae Tartaglia-Cardan !

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan (pour la méthode, pas pour les fourmis )