Équations du quatrième degré à coefficients réels

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Robert est un participant assidu du congrès de mathématiques appliquées de Tournedos-sur-Côte-d’Amour. Citoyen d’un canton voisin et professeur à la retraite, il adore chaque année venir flâner dans les couloirs du Zénith de Tournedos (et oui, encore un Zénith !), assister aux conférences variées et diverses se tenant dans le grand auditorium et ses annexes et y retrouver ses collègues comme on retrouve d’un été sur l’autre ses voisins de camping. Mais il aime probablement par-dessus tout se joindre à la foule qui se presse le dernier jour devant le grand buffet offert par la mairie pour célébrer les lauréats du prix Euler de Tournedos. Le champagne a pour habitude de couler à flots au cours de cette soirée mais Robert consomme toujours avec modération le pétillant breuvage, se limitant à une seule coupe, et ce sans faillir depuis plus de dix années. Il pousse même la coquetterie jusqu’à calculer exactement le volume de boisson pétillante qu’on lui offre. Pour ce faire, il se munit chaque année d’un double décimètre et d’une olive verte dont il a pris soin de mesurer le volume à l’aide d’une éprouvette graduée.

Une fois que l’un des nombreux serveurs, par ailleurs tous tirés à quatre épingles, lui a remis une coupe de champagne, il y glisse discrètement son olive et mesure la variation de hauteur qui en résulte. Cette année, son olive avait un volume de 5 cm3 et le champagne s’est vu rehaussé de 4 mm. Sachant que le profil des coupes suit l’équation y = √|x| (une information confidentielle obtenue du fabricant après moult négociations), il en a déduit immédiatement que le volume qu’il avait consommé était de 0,5 cm3. Comment a-t-il procédé ?

Afin de percer son secret, commençons par fixer quelques notations. Ainsi, sur le schéma ci-contre, on se définit un axe vertical (Ox) ayant pour origine le fond de la coupe et on considère les hauteurs h1 et h2 avant et après l’introduction de l’olive et on note ΔV la variation de volume correspondante. On voit immédiatement que, pour une hauteur x, d’après l’équation du profil, r = x2. Il vient alors :

Puis en considérant que h2 = h1 + 0,4, il s’ensuit, grâce à notre ami Pascal :

Une expression dont nos amis informaticiens apprécieront les coefficients :-). Puisque ΔV = 5, on obtient au final :

Nous sommes donc amenés à résoudre une équation du quatrième degré ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. La méthode de Ferrari nous apprend qu’il faut commencer par poser le changement de variable :

Ceci nous ramène en effet à l’équation :

Un terme en moins, cela fait toujours plaisir :-). Les coefficients p, q et r valent :

Arrivé à cette étape, on cherche les solutions de l’équation intermédiaire (nous en verrons la raison quelques lignes plus bas) :

Il s’agit d’une équation du troisième degré et la méthode de Cardan nous permet d’en trouver au moins une solution réelle que l’on note y0. On a alors l’équivalence :

avec :

 

On reconnaît une identité remarquable du troisième type dans (z2 + y02)2 – (az0 + b0)2. L’équation précédente devient donc :

Il nous suffit donc de résoudre les deux équations du second degré :

pour obtenir les quatre solutions de l’équation en z puis d’utiliser :

pour trouver les solutions de l’équation initiale.

Si nous appliquons la méthode de Ferrari à notre équation, à savoir :

nous obtenons :

Puis :

Et donc l’équation simplifiée du quatrième degré est :

On peut remarquer ici l’apparition d’une équation bicarrée qu’il serait possible de résoudre par la méthode idoine. Mais nous fermons les yeux sur cette constatation afin d’illustrer jusqu’à son terme la méthode de Ferrari :-)

L’équation du troisième degré est :

La méthode de Cardan nous donne comme seule solution réelle :

Ainsi :

et on peut choisir :

Et nous avons donc à résoudre les deux équations du second degré :

Nous ne sommes intéressés que par les solutions réelles :

Donc, au final, en revenant à x :

Seule la seconde solution est réaliste (la première étant négative). Elle correspond à la hauteur du champagne avant que Robert n’y plonge son olive. Il ne nous reste plus qu’à calculer le volume ingurgité par Robert :

Nous retrouvons bien la valeur calculée par ce sacré Robert dont on peut au passage louer la sobriété !

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ferrari

Cet article est à consommer avec modération :-)

Équations du troisième degré à coefficients réels

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Des entomologistes ont découvert récemment une nouvelle espèce de fourmis dans la jungle tanzanienne. Elles ont pour particularité de construire dans un coin de leur fourmilière des réservoirs sphériques qu’elles remplissent de lait de coco. Intrigués, les chercheurs décidèrent d’installer une fourmilière dans leur labo afin de mieux étudier le travail de la colonie. Ils commencèrent par mesurer les fameux réservoirs pour s’apercevoir que ceux-ci étaient non seulement d’une sphéricité parfaite mais avaient également tous un diamètre à l’identique, de 20 cm, soit plusieurs fois la taille moyenne des insectes.

Un calcul rapide leur apprit que le volume de lait pouvant être stocké dans un tel réservoir était de :

Des observations attentives leur montrèrent qu’une fois remplie, la réserve de lait était fort logiquement ponctionnée régulièrement par les ouvrières pour les besoins de leurs consœurs, au moyen d’un micro-orifice proche du fond, qu’elles rebouchaient consciencieusement avec leurs mandibules après usage. Mais quelle ne fut pas la surprise des scientifiques de voir au bout de quelques jours un groupe de fourmis s’accrocher les unes aux autres pour plonger au fond de chaque réservoir (ils en avaient installé des copies factices et transparentes au sein de la colonie pour faciliter l’étude – les fourmis n’y avaient vu que du feu). En s’agrippant à deux congénères, chacune participait à la construction une échelle d’une dizaine d’individus, permettant au dernier élément d’atteindre avec ses antennes la surface du liquide. Le phénomène se reproduisait tous les trois à quatre jours, la petite escouade se séparant pour vaquer à d’autres occupations dès la dernière des sphères inspectée. Mais, au bout d’environ deux semaines, le contrôle de l’une des sphères se termina par le remplissage express de celle-ci par le groupe des inspectrices avant le passage à la suivante. Estomaqués, les chercheurs concentrèrent toute leur attention sur ce comportement hors-norme. Après moult observations et expérimentations, ils en arrivèrent à la conclusion que le réflexe de remplissage se produisait toujours lorsque le contenu de la sphère atteignait 200 cm3, avec une marge d’erreur de 0,1 mm3.

Nos entomologistes, fort érudits en mathématiques par ailleurs, modélisèrent donc la sphère-réservoir par le schéma ci-contre, la dotant d’un axe vertical ayant pour origine son pôle Sud. Ils notèrent h la hauteur du lait restant, R le rayon de la sphère et r le rayon du disque formé par la surface du liquide. Le théorème de Pythagore leur donna immédiatement la relation R2 = r2 + (R-h)2 soit encore r2 = R2 – (R-h)2. En considérant ensuite le volume infinitésimal dv = πr2dx, ils purent calculer le volume de lait de coco en fonction de sa hauteur h :

Pour déterminer la hauteur correspondant à un volume restant de 200 cm3, les fourmis tanzaniennes sont donc amenées à résoudre l’équation :

ou encore :

Autrement dit, elles se retrouvent confrontées à une équation du troisième degré, à savoir ax3 + bx2 + cx + d = 0 avec :

Comment s’y prennent-elles pour la résoudre ? Elles se basent probablement sur la méthode de Tartaglia-Cardan. Que nous dit-elle ? Partant de ax3 + bx2 + cx + d = 0, elle requiert d’abord de poser :

On peut vérifier aisément que l’équation initiale devient alors z3 + pz + q = 0.

La méthode de Tartaglia-Cardan nous enseigne qu’il faut ensuite calculer le discriminant Δ = -(4p3 + 27q2) et distinguer trois cas :

1er cas : Δ < 0

L’équation admet une solution réelle notée z0 et deux solutions imaginaires z1 et z2 :

2ème cas : Δ = 0

L’équation admet deux solutions réelles :

3ème cas : Δ > 0

L’équation admet trois solutions réelles :

Si nous appliquons maintenant cette méthode à l’équation de nos amies les fourmis, nous obtenons ax3 + bx2 + cx + d = 0 avec :

Donc :

Soit :

Le discriminant vaut :

Il est donc strictement positif. Nous nous retrouvons dans le cas des trois solutions réelles :

Il ne reste plus qu’à remonter jusqu’à l’expression de x :

La calculatrice nous donne : x0 ≈ 29,78 cm, x1 ≈ -2,24 cm et x2 ≈ 2,64 cm.

Seule la dernière solution correspond à un cas réel. Les entomologistes arrivèrent donc à la conclusion que les fourmis s’empressent de remplir le réservoir lorsque son contenu atteint la limite des 2,64 cm. Pour rendre hommage à leur ingéniosité, ils baptisèrent cette nouvelle espèce du nom de Formicidae Tartaglia-Cardan !

Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan (pour la méthode, pas pour les fourmis :-))

Équations du second degré à coefficients réels

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Les mathématiciens se sont depuis longtemps intéressés aux équations du second degré, c’est-à-dire dont le terme de plus haut degré contient x2 (en utilisant les notations modernes usuelles). Ainsi, les premiers textes connus y faisant référence datent de deux mille années avant notre ère, du temps des Babyloniens. C’est ensuite Al-Khwarizmi, au IXe siècle, qui établit les formules permettant la résolution systématique de ces équations (on pourra se référer aux liens donnés en fin de billet pour l’aspect historique).

La résolution « moderne » des équations du second degré s’appuie sur la forme canonique des trinômes du second degré. Ainsi, si l’on considère l’équation x2 + 2x – 3 = 0 , le trinôme x2 + 2x – 3 « ressemble » à un début d’identité remarquable. En effet, on peut écrire :

x2 + 2x – 3
= x2 + 2x + 1 – 1 – 3
= x2 + 2x + 1 – 4
= (x+1)2 – 4, en reconnaissant une identité remarquable du premier type :
= (x+1)2 – 22 qui est la forme canonique
= (x + 1 + 2)(x + 1 – 2), en reconnaissant cette fois une identité remarquable du troisième type : a2 – b2 = (a+b)(a-b)
= (x + 3)(x – 1)

Et arrivé ici, nous avons gagné :-). En effet, en reportant le trinôme factorisé dans notre équation initiale, on obtient (x + 3)(x – 1) = 0.

Or on sait qu’un produit de termes est nul si et seulement l’un au moins des termes est nul (ceci traduit le fait que zéro, en plus de désigner accessoirement quelqu’un que l’on ne tient pas en haute considération, est l’élément absorbant de la multiplication). On aboutit donc au système :

soit encore

Les deux solutions sont donc -3 et 1 (Youpi !)

On peut conforter notre résultat en traçant la représentation graphique de la fonction f(x) = x2 + 2x – 3. On peut ainsi voir que la courbe obtenue (une parabole) coupe l’axe des abscisses en deux points qui semblent avoir pour abscisse x = -3 et x = 1 (il ne s’agit bien évidemment pas d’une preuve mais plus d’un moyen de nous rassurer dans notre raisonnement, qui lui est parfaitement rigoureux).

En continuant à raisonner sur les courbes, on peut considérer celle ci-contre. On voit ici que la parabole ne franchit jamais l’axe des abscisses. Donc, a priori, l’équation correspondante ne devrait pas avoir de solutions. En effet, l’équation est ici x2 + 2x + 3 = 0. En réitérant la méthode précédente, on obtient :
x2 + 2x + 3
= x2 + 2x +1 – 1 + 3
= (x+1)2 + 2

Il n’est plus possible de factoriser plus avant puisque nous ne retrouvons plus d’identité remarquable ! En fait, nous nous retrouvons face à deux termes positifs : (x+1)2 qui est un carré (et donc positif) et 2 qui est strictement positif. La somme de ces deux termes est toujours strictement positive et donc ne s’annule jamais. Pas de solution !

Il nous reste à couvrir un dernier cas : celui où la parabole « affleure »  l’axe des abscisses (le coupe en un seul point). Il correspond à l’équation x2-+2x+1 = 0 dont le membre de gauche est directement une identité remarquable ; elle se transforme donc en (x+1)2 = 0 et la solution est x = -1 (on parle parfois de « solution double »).

Nous sommes maintenant parés pour aborder le problème des équations du second degré dans sa forme la plus générale, c’est-à-dire en partant du trinôme ax2 + bx + c, en considérant a non nul (pour bien avoir affaire à une expression de degré deux). Nous allons procéder comme précédemment, c’est-à-dire en cherchant à mettre en évidence une identité remarquable, et pour cela, on commence par mettre a en facteur :

Pour pouvoir continuer, il faut supposer que b2 -4ac ⩾ 0. Dans ce cas en effet, l’identité remarquable du troisième type qui est mise en évidence nous conduit à :

Il faut donc considérer le cas a > 0 conduisant à √a2 = a et celui où a < 0 donnant √a2 = -a . On voit aisément que les deux cas aboutissent au même résultat :

L’équation est alors et les solutions sont :

Ces solutions sont valables sous l’hypothèse que nous avions faite, à savoir b2 – 4ac ⩾ 0 . Dans le cas particulier b2 – 4ac = 0, les solutions se simplifient en :

c’est-à-dire une seule : c’est le cas où la parabole coupait l’axe des abscisses en un seul point.

Nous sommes presque au bout de nos peines : il nous reste à considérer le cas b2 – 4ac < 0. Comme on peut le pressentir, il n’y a alors pas de solution. En effet, dans , le terme est alors strictement positif, ne laissant aucune possibilité de mettre en évidence une identité remarquable.

En résumé, et en notant ∆ = b2 – 4ac (on appelle ∆ le discriminant, car il permet de « discriminer »  les différents résultats possibles) :

Si ∆ > 0, l’équation admet deux solutions qui sont :

Si ∆ = 0, une solution double existe :

Et si ∆ < 0, il n’y a pas de solution réelle (nous ne couvrirons pas ici le cas des solutions imaginaires).

On retrouve bien les trois cas que nous avions mis en évidence dans nos exemples au début de ce billet.

Nous avons donc retrouvé les solutions d’Al-Khwarizmi avec une méthode un peu plus rapide (car plus condensée) que la sienne (voir à ce sujet l’article de Wikipedia). Mais il faut aussi dire à sa décharge que nous arrivons avec douze siècles de retard !

Références (pour la partie historique) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_second_degr%C3%A9#Historique
http://www.lyc-privat.ac-aix-marseille.fr/spip/IMG/pdf/histoiredesequations.pdf

Quelques réflexions sur les algorithmes…

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La notion d’algorithme n’est pas née avec les premiers ordinateurs mais leur est bien antérieure, remontant à l’Antiquité. Dans son acceptation commune, un algorithme est une suite d’instructions, une « recette », permettant d’obtenir un résultat prédéfini. Il est synonyme de méthode systématique, c’est-à-dire permettant d’aboutir de manière certaine (donc avec un nombre fini d’opérations). A ce titre, une recette de cuisine constitue un algorithme (et certains sont très doués pour rater systématiquement celle de la mayonnaise :-)) tout comme la partition jouée par un orgue de Barbarie lisant des cartons perforés.

EuclideDes exemples de telles méthodes systématiques sont le crible d’Eratosthène qui permet de déterminer à coup sûr les nombres premiers inférieurs à un entier N donné (N ne doit évidemment pas être trop grand pour que l’algorithme aboutisse dans un temps raisonnable) ou encore l’algorithme d’Euclide. L’algorithme d’Euclide (ci-contre), qui permet de trouver le PGCD de deux nombres entiers, est remarquable dans le sens où il est bien plus rapide que l’algorithme des soustractions successives, qui paraît être une méthode plus « naturelle », à laquelle on peut penser de prime abord.

Mais la notion d’algorithme est de nos jours indissociable de l’ordinateur, cet ogre des temps modernes qui s’en paisse sans jamais en être rassasié. A ce propos, le mot informatique provient, faut-il le rappeler, de la contraction d’information et automatique, ce qui en constitue une remarquable définition, que les Anglo-Saxons nous envient. Puisque les traitements que réalise la science informatique sont automatiques, ils s’appuient obligatoirement sur des algorithmes qui peuvent être aussi simples que faire des additions et des soustractions dans le cas des caisses enregistreuses (avec souvent cependant un raffinement supplémentaire : la génération de bons fidélités valables pour un montant d’achat légèrement supérieur à l’habituel :-)) ou d’une grande complexité quand il s’agit par exemple de traiter les milliards de données issues de collisions au sein d’accélérateurs de particules.

La rapidité d’un algorithme est un facteur important dans bien des cas de figure. Elle est liée à la notion de temps réel. Par exemple, le système informatique qui gère le passage des usagers à l’entrée et à la sortie des stations de métro en fonction notamment de la carte des zones doit rendre son verdict en à peine plus d’une seconde pour assurer la fluidité du flux des voyageurs (une attente d’une minute serait totalement inacceptable, provoquant des embouteillages monstres chaque matin). Dans le même ordre d’idées mais à une échelle temporelle différente, les ordinateurs qui prévoient la météo du lendemain ne peuvent se permettre une semaine de calcul (dans ce cas, les ingénieurs ajustent les modèles prévisionnels en fonction de la puissance des machines pour être certain d’aboutir en temps et en heure).

Pour être rapide, un algorithme doit être pertinent, autrement dit, il se doit d’être optimisé. Prenons l’exemple du jeu d’échec. Alors que l’être humain s’appuie sur son expérience et son intuition (cette dernière étant bien souvent de l’expérience inconsciente), la machine va tester un grand nombre de coups à l’avance en misant sur sa puissance de calcul pour tenter de rivaliser avec l’homme. Le nombre de coups possibles croissant exponentiellement, les calculs sont optimisés en élaguant les branches menant à des situations sans intérêt pour la victoire, ou estimées telles. Ces optimisations, combinées avec les vitesses de traitement toujours plus grandes, ont permis de rivaliser avec les grands maîtres internationaux puis, au début de ce siècle, d’arriver à systématiquement les mettre en échec.

Ce dernier exemple montre que les méthodes mises en œuvre dans les algorithmes peuvent être fort différentes de celles développées par un esprit humain, même si, au final, les algorithmes sont (encore !) pensés par des hommes. Si l’on pousse la réflexion un peu plus loin, ne pourrait-on pas considérer que la vie elle-même n’est au final qu’un algorithme, une suite de commandes codées dans l’ADN, dont la finalité est de se reproduire, à l’échelle moléculaire mais aussi à l’échelle macroscopique, celle des êtres vivants ? Les abeilles suivent bien depuis des millénaires une logique optimisée à l’extrême dont le but final est tout bonnement d’assurer la pérennité de la ruche. Et nous les humains, sommes-nous programmés pour rechercher le bonheur, trouver l’âme sœur et nous reproduire pour assurer la pérennité de notre espèce ? Quid du libre arbitre alors ?

 

y = 3√[(16-x^2)/(2x+17)] et y = -3√[(16-x^2)/(2x+17)] qu’est-ce que c’est ?

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func

qu’est-ce que c’est ?

 

Voilà une drôle de question ! Commençons par étudier les deux fonctions associées.

funcOn nous dit que l’ensemble de définition pour ces deux fonctions est ]-∞ ;-17/2[ U [-4 ;4] et que les tableaux de variations sont respectivement ceux représentés ci-contre (on y retrouve bien les différences, sous forme de « symétries », dues au signe moins).

Mais le mystère demeure entier ! Jetons un coup d’œil à chaque courbe.

func

 

Elles sont bien conformes aux tableaux de variations précédents. On pourra notamment remarquer les tangentes horizontales (et on retrouve la symétrie déjà observée).

 

 

 

 

Concentrons-nous sur les portions de l’intervalle [-4 ;4] et réunissons les sur une seule figure.

func6

Puis ajoutons quelques couleurs.

func7

Joyeuses Pâques !

Source: http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm

Le théorème des valeurs intermédiaires revisité

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Le théorème des valeurs intermédiaires est d’une grande importance en analyse. Il permet notamment de montrer qu’une équation possède des solutions même s’il est impossible de les expliciter. Un des formes du théorème dit que « si une fonction f est définie et continue sur [a;b] alors pour tout réel c appartenant à [f(a) ;f(b)], l’équation f(x) = c possède au moins une solution ».  Le théorème tire son nom du fait qu’il montre que toutes les valeurs intermédiaires c dans [f(a);f(b)] sont « atteintes » en balayant [a;b].

Le théorème de Bolzano en propose une forme simplifiée. Il nous dit que « si f(a) et f(b) sont de signe opposé, autrement dit si f(a)f(b) < 0, alors l’équation f(x) = 0 possède au moins une solution » (c, qui vaut 0 dans ce cas particulier, appartient bien à [f(a) ;f(b)]).

La force du théorème des valeurs intermédiaires et de celui de Bolzano réside dans le fait que les conditions qu’ils imposent sont applicables à toutes les fonctions usuelles, qui sont continues sur au moins des sous-intervalles de leur ensemble de définition.

f : x↦e^x-x^2-x-1

Ces deux théorèmes s’illustrent aisément grâce aux représentations graphiques. Considérons par exemple la fonction f : x↦ex-x2-x-1, représentée ci-contre. Il est aisé de montrer qu’elle est définie et continue sur [-1 ;2] et que f(-1)f(2) < 0. Par conséquent, l’équation ex-x2-x-1 = 0 admettra au moins une solution sur [-1 ;2]. En pratique, comme le laisse supposer la courbe, elle en admettra deux : 0 (solution évidente) et une seconde qu’il n’est pas possible d’expliciter.

Afin de démontrer l’existence d’une solution unique sur un intervalle donné, il faut rajouter une condition supplémentaire au théorème des valeurs intermédiaires, connue sous le nom de corollaire : « si la fonction est en plus strictement monotone sur [a;b] (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante) alors l’équation f(x) = c, ou f(x) = 0, admet une unique solution ». On peut par exemple appliquer ce corollaire à notre fonction f: x↦ex-x2-x-1 sur l’intervalle [3/2;2].

funcLe tableau de variations ci-contre nous montre en effet que la fonction f est strictement croissante sur [3/2;2] et la calculatrice donne facilement f(3/2) < 0 et f(2) > 0. Par conséquent, l’équation f(x) = 0 admet une solution unique sur [3/2;2].

Par la suite, il est possible de resserrer cet intervalle en calculant par exemple f(7/4),  7/4 étant le milieu de l’intervalle [3/2;2]. La calculatrice nous dit que f(7/4) ≃ -0,058 < 0 donc la solution, que l’on note souvent α, est telle que 7/4 < α < 2. En répétant cette méthode, appelée dichotomie, autant de fois que nécessaire, il est possible d’approcher α avec la précision souhaitée. En pratique on programme l’algorithme de la dichotomie, assez fastidieuse à faire à la main, sur une calculatrice ou un ordinateur ce qui donne un résultat avec plusieurs chiffres après la virgule en une fraction de seconde. Il existe d’autres méthodes plus élaborées qui convergent plus rapidement (c’est-à-dire qui ont besoin de moins de calculs pour la même précision) comme la méthode de la tangente de Newton. Celle-ci pourra faire l’objet d’un prochain billet !